Καθηγητής Συστημάτων Ελέγχου

Σχολή Μηχανικών Παραγωγής και Διοίκησης, Πολυτεχνείο Κρήτης (συνταξιοδοτημένος 1/9/2018)

Ιστοσελίδα βιβλίου "Περί συστημάτων ελέγχου"

Αποδείξεις

1. Θεώρημα συνέλιξης

Για το γραμμικό, χρονικά αμετάβλητο σύστημα,

ισχύει,

y(t)=r(t)*h(t)

όπου h(t) η ωστική απόκριση του συστήματος.

2. Θεώρημα ευστάθειας Ι

Ένα σύστημα είναι ευσταθές φραγμένης εισόδου-φραγμένης εξόδου (BIBO), αν και μόνον αν,

3. Θεώρημα ευστάθειας IΙ

Ένα πρέπον, ρητό σύστημα είναι ευσταθές BIBO, αν και μόνον αν, τα πραγματικά μέρη των πόλων του είναι αυστηρά αρνητικά.

4. Θεώρημα ευστάθειας Routh (1877)

Ένα σύστημα είναι ευσταθές BIBO αν και μόνον αν η στήλη Routh του χαρακτηριστικού του πολυωνύμου έχει μόνο θετικά στοιχεία.

5. Λήμμα

Το όριο,

είναι μηδέν μόνον αν ο ελεγκτής έχει τουλάχιστον ένα πόλο στο μηδέν.

6. Διάφορα θεωρήματα

Έστω ένα σύστημα κλειστού βρόχου με πόλους αριστερότερα από κάποιο –α, α>0 και με ελεγκτή που περιέχει ένα πόλο τουλάχιστον στο μηδέν. Τότε, για μηδενικά z₀ της εγκατάστασης που δεν απαλείφονται, τέτοια ώστε Re(z₀)>−α ή για πόλους p₀ της εγκατάστασης που δεν απαλείφονται, τέτοια ώστε Re(p₀)>−α, ισχύουν:

(α) Για (θετική) είσοδο αναφοράς μοναδιαίας βαθμίδας,

(β) Για (θετική) είσοδο αναφοράς μοναδιαίας βαθμίδας και z₀ στο δεξιό ημιεπίπεδο,

(γ) Για (αρνητική) διαταραχή μοναδιαίας βαθμίδας στην είσοδο,

όπου e(t) το σήμα εισόδου στον ελεγκτή.